Tìm cực trị của hàm số chứa trị tuyệt đối

Hàm số chứa trị tuyệt đối thì có nhiều kiểu, nhiều dạng. Cho nên cách tìm cực trị của hàm số chứa trị tuyệt đối cũng không có 1 phương pháp chung. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn các bạn một số cách tìm cực trị liên quan đến hàm có trị tuyệt đối.

I. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI BẰNG CÁCH PHÁ DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

Trong một số trường hợp hàm đơn giản ta có thể phá dấu trị tuyệt đối để tìm cực trị, điểm cực trị.

Ví dụ:

Tìm $m$ để hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{2}}+2m\left| x \right|+3$ có 3 điểm cực trị phân biệt.
Giải:
Tập xác định: $\mathbb{R}$ .
Ta có: $y=\left\{ \begin{matrix} {{x}^{2}}+2mx+3\,\,\,khi\,\,\,x\ge 0 \\ {{x}^{2}}-2mx+3\,\,\,khi\,\,\,x<0 \\ \end{matrix} \right.$
Do đó: $y'=\left\{ \begin{matrix} 2x+2m\,\,khi\,\,x>0 \\ 2x-2m\,\,khi\,\,x<0 \\ \end{matrix} \right.$
Nếu $m=0$ thì ta có bảng xét dấu của $y'$ như sau:

Nếu $m>0$ thì ta có bảng xét dấu của $y'$ như sau:

Nếu $m<0$ thì ta có bảng xét dấu của $y'$ như sau:

Vậy $m<0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đề thi Online có giải: [9-10] Bài toán cực trị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối

Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Hàm số

II. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CÓ TRỊ TUYỆT ĐỐI BẰNG PHÉP SUY ĐỒ THỊ HOẶC BẢNG BIẾN THIÊN

Một số phép suy đồ thị thường gặp như:

Đồ thị hàm số $\left| f\left( x \right) \right|$ có được từ đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ bằng cách lấy đối xứng phần bên dưới trục hoành qua trục hoành sau đó bỏ phần bên dưới trục hoành đi.
Đồ thị hàm số $f\left( \left| x \right| \right)$ có được từ đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ bằng cách bỏ phần bên trái trục tung, sau đó lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung.
Đồ thị hàm số $f\left( x+a \right)$ với $a>0$ có được từ đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ bằng cách tịnh tiến sang trái $a$ đơn vị.
Đồ thị hàm số $f\left( x-a \right)$ với $a>0$ có được từ đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ bằng cách tịnh tiến sang phải $a$ đơn vị.
Đồ thị hàm số $f\left( x \right)+m$ với $m>0$ có được từ đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ bằng cách tịnh tiến lên trên $m$ đơn vị.
Đồ thị hàm số $f\left( x \right)-m$ với $m>0$ có được từ đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ bằng cách tịnh tiến xuống dưới $m$ đơn vị.

Ví dụ:

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ , $f'\left( 0 \right)\ne 0$ và hàm số có 3 điểm cực trị dương. Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)+3$ là bao nhiêu?
Giải:
Đồ thị hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)+3$ có được từ đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ bằng cách bỏ phần bên trái trục tung. Sau đó lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung. Cuối cùng tịnh tiến lên trên 3 đơn vị. Mặt khác $f'\left( 0 \right)\ne 0$ nên hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)+3$ có 1 điểm cực trị $x=0$ .
Vậy hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)+3$ có $3.2+1=7$ điểm cực trị.