Tìm cực trị của hàm số như thế nào ?

Tìm cực trị của hàm số như thế nào ? Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn các em học sinh cách tìm cực trị sao cho nhanh nhất có thể. Cùng theo dõi nhé!

TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG ĐẠO HÀM CẤP 1

Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm cấp 1 trên khoảng K. Điểm α thuộc K. Nếu qua điểm α mà f'(x) đổi dấu thì hàm số y=f(x) đạt cực trị tại điểm α. Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại điểm α. Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm α.

Xem thêm: Định nghĩa cực trị của hàm số

Do đó để tìm cực trị nhanh ta thường làm như sau:

Tìm tập xác định.

Tìm nghiệm của f'(x).

Xét dấu f'(x).

Kết luận về cực trị của hàm số.

Ví dụ minh họa (Tự luận):

Cho hàm số y=f(x)=x³−3x²+3x+2020. Tìm các điểm cực trị của f(x) (nếu có).

Lời giải:

Tập xác định của hàm số R.

Ta có: f'(x)=3x²-6x+3

f'(x)=0⇔x=1.

Xét dấu f'(x) trên trục số

tìm cực trị của hàm số

Vì f'(x) không đổi dấu qua điểm x=1 nên hàm số đã cho không có cực trị.

Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Cực trị Hàm số

TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ BẰNG ĐẠO HÀM CẤP 2

Cách tìm cực trị của hàm số bằng đạo hàm cấp 2 có 1 nhược điểm là không xét được những điểm là nghiệm bội ≥2 của đạo hàm. Tuy nhiên ưu điểm riêng của nó là không cần xét dấu đạo hàm cấp 1 (Xét dấu đạo hàm cấp 1 gặp khó khăn như hàm lượng giác, vô tỉ…). Cụ thể:

Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm đến cấp 2 trên khoảng K. Điểm α thuộc K. Nếu tại điểm α mà đạo hàm cấp 1 bằng 0 và đạo hàm cấp 2 dương thì hàm số đạt cực tiểu tại α. Ngược lại nếu tại điểm α mà đạo hàm cấp 1 bằng 0 và đạo hàm cấp 2 âm thì hàm số đạt cực đại tại α. Còn trong trường hợp tại điểm α mà đạo hàm cấp 1 bằng 0 và đạo hàm cấp 2 cũng bằng 0 thì ta chưa thể kết luận về cực trị tại α được.

Ví dụ minh họa (Tự luận):

Cho hàm số y=sinx. Gọi S là tập các điểm cực trị của hàm số trên (0;2π). Tính tổng các phần tử của S.

Lời giải:

Tập xác định của hàm số R.

Ta có y’=cosx và y”=−sinx.

Trên khoảng (0;2π) ta có:

y’=0⇔x=π/2; x=3π/2.

Mặt khác:

y”(π/2)=−1>0. Nên hàm số đạt cực đại tại x=π/2.

y”(3π/2)=1<0. Nên hàm số đạt cực tiểu tại x=3π/2.

Vậy S={π/2; 3π/2}. Do đó tổng các phần tử của S là 2π.

Chúc các em thành công!