40 câu trắc nghiệm logarit có đáp án

Bài viết gồm 40 câu trắc nghiệm logarit và mũ có lời giải chi tiết đi kèm mỗi câu giúp các bạn dễ dàng theo dõi và học tập.

Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Hàm số lũy thừa – Mũ – Logarit

Content

1 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LOGARIT
2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LOGARIT
3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LOGARIT
4 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LOGARIT
5 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LOGARIT
6 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LOGARIT
7 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LOGARIT
8 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LOGARIT

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LOGARIT

Câu 1. Phương trình ${{2}^{2x+1}}=32$ có nghiệm là
A. $x=\frac{5}{2}$ .	B. $x=2$ .
C. $x=\frac{3}{2}$ .	D. $x=3$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{2}^{2x+1}}=32$ $\Leftrightarrow$ $2x+1=5$ $\Leftrightarrow$ $x=2$ .

Câu 2. Phương trình ${{\left( \frac{1}{7} \right)}^{{{x}^{2}}-2x-3}}={{7}^{x-1}}$ có bao nhiêu nghiệm?
A. $0$ .	B. $1$ .
C. $2$ .	D. $3$ .

Lời giải chi tiết

${{\left( \frac{1}{7} \right)}^{{{x}^{2}}-2x-3}}={{7}^{x-1}}$ $\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{7} \right)}^{{{x}^{2}}-2x-3}}={{\left( \frac{1}{7} \right)}^{-x+1}}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3=-x+1$ $\Leftrightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}$

Câu 3. Tập nghiệm của phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-x+2 \right)=1$ là
A. $\left\{ 0 \right\}$ .	B. $\left\{ 0;1 \right\}$ .
C. $\left\{ -1;0 \right\}$ .	D. $\left\{ 1 \right\}$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-x+2 \right)=1$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+2=2$ $\Leftrightarrow {x=0;x=1}.$

Câu 4. Nghiệm của phương trình $\log \left( x-1 \right)=2$ là
A. $5$ .	B. $21$ .
C. $101$ .	D. $1025$ .

Lời giải chi tiết

Điều kiện của phương trình là $x>1$ .
$\log \left( x-1 \right)=2\Leftrightarrow x-1={{10}^{2}}\Leftrightarrow x=101$ .
Vậy $x=101$ thỏa mãn điều kiện nên phương trình đã cho có nghiệm là $x=101$ .

Câu 5.Tập nghiệm của phương trình ${{\log }_{2}}x+{{\log }_{4}}x+{{\log }_{16}}x=7$ là
A. $\left\{ 16 \right\}.$	B. $\left\{ \sqrt{2} \right\}.$
C. $\left\{ 4 \right\}.$	D. $\left\{ 2\sqrt{2} \right\}.$

Lời giải chi tiết

Điều kiện: $x>0$ .
${{\log }_{2}}x+{{\log }_{4}}x+{{\log }_{16}}x=7\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}x+\frac{1}{4}{{\log }_{2}}x=7\Leftrightarrow \frac{7}{4}{{\log }_{2}}x=7.$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=4\Leftrightarrow x={{2}^{4}}\Leftrightarrow x=16$ (thỏa mãn).

Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Hàm số lũy thừa – Mũ – Logarit

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LOGARIT

Câu 6. Phương trình ${{\log }_{\sqrt{2}}}x={{\log }_{2}}\left( x+2 \right)$ có bao nhiêu nghiệm?
A. $0$ .	B. $2$ .
C. $3$ .	D. $1$ .

Lời giải chi tiết

Điều kiện: $x>0$ .
${{\log }_{\sqrt{2}}}x={{\log }_{2}}\left( x+2 \right)$ $\Rightarrow {{\log }_{2}}{{x}^{2}}={{\log }_{2}}\left( x+2 \right)$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}=x+2$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0$ $\Leftrightarrow {x}=-1; {x}=2$ .
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x=2.
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Câu 7. Với a, b, x là các số thực dương thỏa mãn ${{\log }_{2}}x=5{{\log }_{2}}a+3{{\log }_{2}}b$ . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. $x=3a+5b$ .	B. $x={{a}^{5}}+{{b}^{3}}$ .
C. $x={{a}^{5}}{{b}^{3}}$ .	D. $x=5a+3b$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{\log }_{2}}x=5{{\log }_{2}}a+3{{\log }_{2}}b\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x={{\log }_{2}}{{a}^{5}}{{b}^{3}}\Leftrightarrow x={{a}^{5}}{{b}^{3}}$ .

Câu 8. Tập nghiệm S của phương trình ${{\left( \frac{4}{7} \right)}^{x}}{{\left( \frac{7}{4} \right)}^{3x-1}}-\frac{16}{49}=0$ là
A. $S=\left\{ -\frac{1}{2} \right\}$ .	B. $S=\left\{ 2 \right\}$ .
C. $\left\{ \frac{1}{2};\ -\frac{1}{2} \right\}$ .	D. $S=\left\{ -\frac{1}{2};\ 2 \right\}$ .

Lời giải chi tiết

${{\left( \frac{4}{7} \right)}^{x}}{{\left( \frac{7}{4} \right)}^{3x-1}}-\frac{16}{49}=0$ $\Leftrightarrow {{\left( \frac{4}{7} \right)}^{-2x+1}}={{\left( \frac{4}{7} \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow -2x+1=2$ $\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$ .

Câu 9. Nghiệm của phương trình ${{\log }_{2}}\left( x+1 \right)+1={{\log }_{2}}\left( 3x-1 \right)$ là
A. $x=3$ .	B. $x=2$ .
C. $x=-1$ .	D. $x=1$ .

Lời giải chi tiết

Điều kiện $x>\frac{1}{3}$ .
${{\log }_{2}}\left( 2x+2 \right)={{\log }_{2}}\left( 3x-1 \right)\Leftrightarrow 2x+2=3x-1\Leftrightarrow -x=-3\Leftrightarrow x=3$
Vậy phương trình có nghiệm $x=3$ .

Câu 10. Số nghiệm thực của phương trình $3{{\log }_{3}}\left( x-1 \right)-{{\log }_{\frac{1}{3}}}{{\left( x-5 \right)}^{3}}=3$ là
A. $3$	B. $1$
C. $2$	D. $0$

Lời giải chi tiết

Điều kiện: $x>5$ .
$3{{\log }_{3}}\left( x-1 \right)-{{\log }_{\frac{1}{3}}}{{\left( x-5 \right)}^{3}}=3$
$\Leftrightarrow 3{{\log }_{3}}\left( x-1 \right)+3{{\log }_{3}}\left( x-5 \right)=3$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x-1 \right)+{{\log }_{3}}\left( x-5 \right)=1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left[ \left( x-1 \right)\left( x-5 \right) \right]=1$
$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x-5 \right)=3$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x+2=0\Leftrightarrow x=3\pm \sqrt{7}$
Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình có 1 nghiệm $x=3+\sqrt{7}$

Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Hàm số lũy thừa – Mũ – Logarit

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LOGARIT

Câu 11. Nghiệm của phương trình ${{2}^{x+1}}{{.4}^{x-1}}.\frac{1}{{{8}^{1-x}}}={{16}^{x}}$ là
A. $x=3.$	B. $x=1.$
C. $x=4.$	D. $x=2.$

Lời giải chi tiết

${{2}^{x+1}}{{.4}^{x-1}}.\frac{1}{{{8}^{1-x}}}={{16}^{x}}\Leftrightarrow {{2}^{x+1}}{{.2}^{2\left( x-1 \right)}}{{.2}^{3\left( x-1 \right)}}={{2}^{4x}}$
$\Leftrightarrow x+1+2\left( x-1 \right)+3\left( x-1 \right)=4x\Leftrightarrow x=2.$

Câu 12. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}-2x-1}}{{.3}^{{{x}^{2}}-2x}}=18$ bằng
A. $1$ .	B. $-1$ .
C. $2$ .	D. $-2$ .

Lời giải chi tiết

Ta có ${{2}^{{{x}^{2}}-2x-1}}{{.3}^{{{x}^{2}}-2x}}=18\Leftrightarrow {{6}^{^{{{x}^{2}}-2x}}}=36\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-2=0$ .
Phương trình ${{x}^{2}}-2x-2=0$ có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí vi-et tổng hai nghiệm của phương trình là: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2$ .

Câu 13. Số nghiệm của phương trình $\left( x-2 \right)\left[ {{\log }_{0,5}}\left( {{x}^{2}}-5x+6 \right)+1 \right]=0$ là
A. 1.	B. 0.
C. 3.	D. 2.

Lời giải chi tiết

ĐKXĐ: ${{x}^{2}}-5x+6>0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & x>3 \\ & x<2 \\ \end{matrix} \right.$ . $\left( x-2 \right)\left[ {{\log }_{0,5}}\left( {{x}^{2}}-5x+6 \right)+1 \right]=0\Leftrightarrow {{\log }_{0,5}}\left( {{x}^{2}}-5x+6 \right)=-1$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+6=0,{{5}^{-1}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}& x=1 \\ & x=4 \\ \end{matrix} \right..$
Đối chiếu với ĐKXĐ ta thấy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Câu 14. Tổng tất cà các nghiệm của phương trình ${{\log }_{2}}\left\| {{x}^{2}}+2x-3 \right\|-{{\log }_{2}}\left\| x+3 \right\|=3$ là
A. $-2$ .	B. $-4$ .
C. $9$ .	D. $2$ .

Lời giải chi tiết

Điều kiện: $\left\{ \begin{matrix} & x\ne 1 \\ & x\ne -3 \\ \end{matrix} \right.$
Ta có: ${{\log }_{2}}\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|-{{\log }_{2}}\left| x+3 \right|=3$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|={{\log }_{2}}{{2}^{3}}+{{\log }_{2}}\left| x+3 \right|\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|={{\log }_{2}}8.\left| x+3 \right|$
$\Leftrightarrow \left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|=8.\left| x+3 \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & {{x}^{2}}+2x-3=8\left( x+3 \right) \\ & {{x}^{2}}+2x-3=-8\left( x+3 \right) \\ \end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & {{x}^{2}}-6x-27=0 \\ & {{x}^{2}}+10x+21=0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & x=9 \\ & x=-3\,\left( L \right) \\ & x=-3\left( L \right) \\ & x=-7 \\ \end{matrix} \right.$
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là $9-7=2$

Câu 15. Số nghiệm của phương trình ${{\log }_{4}}\left( {{\log }_{2}}x \right)+{{\log }_{2}}\left( {{\log }_{4}}x \right)=2$ là
A. $0$ .	B. $2$ .
C. $3$ .	D. $1$ .

Lời giải chi tiết

Điều kiện: $\left\{ \begin{matrix} & x>0 \\ & {{\log }_{2}}x>0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow x>1$ .
Ta có: ${{\log }_{4}}\left( {{\log }_{2}}x \right)+{{\log }_{2}}\left( {{\log }_{4}}x \right)=2\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( {{\log }_{2}}x \right)+{{\log }_{2}}\left( \frac{1}{2}{{\log }_{2}}x \right)=2$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{\left( {{\log }_{2}}x \right)}^{\frac{3}{2}}}=4\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=4\Leftrightarrow x=16$ thỏa mãn điều kiện.

Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Hàm số lũy thừa – Mũ – Logarit

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LOGARIT

Câu 16. Biết rằng phương trình $\log _{2}^{3}{{\left( x+a \right)}^{2}}+{{\log }_{2{{a}^{2}}+2}}{{\left( x+a \right)}^{2}}=0$ có hai nghiệm thực phân biệt ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ${{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}=4$ .	B. ${{x}_{1}}{{x}_{2}}={{a}^{2}}$ .
C. ${{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=4$ .	D. ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=16{{a}^{2}}-1$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{\left( \frac{\ln {{\left( x+a \right)}^{2}}}{\ln 2} \right)}^{3}}+\frac{\ln {{\left( x+a \right)}^{2}}}{\ln \left( 2{{\text{a}}^{2}}+2 \right)}=0\Leftrightarrow \ln {{\left( x+a \right)}^{2}}\left[ \frac{1}{\ln \left( 2{{\text{a}}^{2}}+2 \right)}+\frac{\ln {{\left( x+a \right)}^{3}}}{{{\ln }^{3}}2} \right]=0$
$\Leftrightarrow \ln {{\left( x+a \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( x+a \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow x=-a\pm 1\Rightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=4$ .

Câu 17. Tổng các nghiệm của phương trình ${{\log }_{\sqrt{3}}}\left( x-2 \right)+{{\log }_{3}}{{\left( x-4 \right)}^{2}}=0$ là $S=a+b\sqrt{2}$ (với $a,\,b$ là các số nguyên). Giá trị của biểu thức $Q=a.b$ bằng
A. 0.	B. 3.
C. 9.	D. 6.

Lời giải chi tiết

Điều kiện: $2<x\ne 4$ .
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương
$2{{\log }_{3}}\left( x-2 \right)+2{{\log }_{3}}\left| x-4 \right|=0\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x-2 \right)\left| x-4 \right|=0\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left| x-4 \right|=1$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & \left( x-2 \right)\left( x-4 \right)=1 \\ & \left( x-2 \right)\left( x-4 \right)=-1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & {{x}^{2}}-6x+7=0 \\ & {{x}^{2}}-6x+9=0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & x=3\pm \sqrt{2} \\ & x=3 \\ \end{matrix} \right.$
So lại điều kiện, ta nhận hai nghiệm ${{x}_{1}}=3+\sqrt{2};\,{{x}_{2}}=3$
Ta được: $S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=6+\sqrt{2}\Rightarrow a=6;\,b=1$ . Vậy $Q=a.b=6$ .

Câu 18. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\left( mx+1 \right)\sqrt{\log x+1}=0$ có hai nghiệm phân biệt?
A. $1$ .	B. Vô số.
C. $9$ .	D. $10$ .

Lời giải chi tiết

Điều kiện: $x\ge \frac{1}{10}$ .
$\left( mx+1 \right)\sqrt{\log x+1}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & mx+1=0 \\ & \log x+1=0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & mx+1=0 \\ & x=\frac{1}{10} \\ \end{matrix} \right.$ .
Để phương trình $\left( mx+1 \right)\sqrt{\log x+1}=0$ có hai nghiệm phân biệt thì phương trình $mx+1=0$ phải có nghiệm $x=-\frac{1}{m}>\frac{1}{10}\Leftrightarrow -10<m<0$ .
Do $m$ nguyên nên $m\in \left\{ -9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1 \right\}$

Câu 19. Cho hàm số $3{{\log }_{27}}\left[ 2{{x}^{2}}-\left( m+3 \right)x+1-m \right]+{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{x}^{2}}-x+1-3m \right)=0$ . Số các giá trị nguyên của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn $\left\| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right\|<15$ là
A. $14$ .	B. $11$ .
C. $12$ .	D. $13$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: $3{{\log }_{27}}\left[ 2{{x}^{2}}-\left( m+3 \right)x+1-m \right]+{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{x}^{2}}-x+1-3m \right)=0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left[ 2{{x}^{2}}-\left( m+3 \right)x+1-m \right]={{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-x+1-3m \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & {{x}^{2}}-x+1-3m>0 \\ & 2{{x}^{2}}-\left( m+3 \right)x+1-m={{x}^{2}}-x+1-3m \\ \end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & {{x}^{2}}-x+1-3m>0\left( * \right) \\ & {{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x+2m=0\begin{matrix} \left( 1 \right) & {} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & {{x}^{2}}-x+1-3m>0\left( * \right) \\ & \left[ \begin{matrix} & x=m \\ & x=2 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right.$
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn (*) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & {{m}^{2}}-m+1-3m>0 \\ & {{2}^{2}}-1+1-3m>0 \\ & m\ne 2 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & {{m}^{2}}-4m+1>0 \\ & 4-3m>0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow m<2-\sqrt{3}$ .
Theo giả thiết $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|<15\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}<225\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m-221<0\Leftrightarrow -13<m<17$
Do đó $-13<m<2-\sqrt{3}$ . Vậy số các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là 13.

Câu 20. Cho các số x, y thỏa mãn $9{{x}^{2}}-4{{y}^{2}}=5$ và ${{\log }_{m}}\left( 3x+2y \right)-{{\log }_{3}}\left( 3x-2y \right)=1$ , giá trị lớn nhất của $m$ sao cho tồn tại cặp $\left( x;\,y \right)$ thỏa mãn $3x+2y\le 5$ thuộc khoảng nào dưới đây.
A. $\left( 6;\,8 \right)$ .	B. $\left( 4;\,6 \right)$ .
C. $\left( 0;\,2 \right)$ .	D. $\left( 2;\,4 \right)$ .

Lời giải chi tiết

Xét phương trình ${{\log }_{m}}\left( 3x+2y \right)-{{\log }_{3}}\left( 3x-2y \right)=1$ .
Điều kiện: $\left\{ \begin{matrix} & 3x+2y>0 \\ & 3x-2y>0 \\ \end{matrix} \right.$ .
Ta có:
$\begin{matrix} & {{\log }_{m}}\left( 3x+2y \right)-{{\log }_{3}}\left( 3x-2y \right)=1\Leftrightarrow {{\log }_{m}}\left( 3x+2y \right)-{{\log }_{3}}\frac{5}{3x+2y}=1. \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{m}}3.{{\log }_{3}}\left( 3x+2y \right)+{{\log }_{3}}\left( 3x+2y \right)=1+{{\log }_{3}}5\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 3x+2y \right).\left( {{\log }_{m}}3+1 \right)={{\log }_{3}}15. \\ \end{matrix}$
$\Leftrightarrow 1+{{\log }_{m}}3=\frac{{{\log }_{3}}15}{{{\log }_{3}}\left( 2x+3y \right)}$ , (Vì $3x+2y\le 5\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 3x+2y \right)\le {{\log }_{3}}5$ ).
$\Rightarrow 1+{{\log }_{m}}3\ge \frac{{{\log }_{3}}15}{{{\log }_{3}}5}\Leftrightarrow 1+{{\log }_{m}}3\ge {{\log }_{5}}15\Leftrightarrow \frac{1}{{{\log }_{3}}m}\ge {{\log }_{5}}3.$
$\Leftrightarrow \frac{1}{{{\log }_{3}}m}-\frac{1}{{{\log }_{3}}5}\ge 0\Leftrightarrow 0<{{\log }_{3}}m\le {{\log }_{3}}5\Leftrightarrow m\in \left( 1;\,5 \right]\Rightarrow \max m=5.$

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LOGARIT

Câu 21. Cho phương trình $\left( 2\log _{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x-2 \right)\sqrt{{{3}^{x}}-m}=0$ ( $m$ là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt?
A. $79$ .	B. $80$ .
C. Vô số.	D. $81$ .

Lời giải chi tiết

Xét phương trình $\left( 2\log _{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x-2 \right)\sqrt{{{3}^{x}}-m}=0$ $\left( 1 \right)$ .
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x>0 \\ {{3}^{x}}-m\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x>0 \\ x\ge {{\log }_{3}}m\ \ \ \left( \text{do}\ \,m>0 \right) \\ \end{array} \right.$ .
Ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 2\log _{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x-2=0 \\ \sqrt{{{3}^{x}}-m}=0 \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} {{\log }_{2}}x=2 \\ {{\log }_{2}}x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \\ {{3}^{x}}=m \\ \end{array} \right.\left[ \begin{array}{*{35}{l}} x=4 \\ x=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ x={{\log }_{3}}m \\ \end{array} \right..$
Phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & {{\log }_{3}}m\le 0 \\ & \frac{1}{\sqrt{2}}\le {{\log }_{3}}m<4 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 0<m\le 1 \\ {{3}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}}\le m<{{3}^{4}} \\ \end{array} \right.$
Do $m$ nguyên dương $\Rightarrow$ $\left[ \begin{matrix} & m=1 \\ & m\in \{3;4;5;\ldots ;80\} \\ \end{matrix} \right.$ .
Vậy có tất cả $1+80-3+1=79$ giá trị $m$ nguyên dương thỏa mãn đề bài.

Câu 22. Cho phương trình ${{4}^{x}}+{{2}^{x+1}}-3=0$ . Khi đặt $t={{2}^{x}}$ , ta được phương trình nào dưới đây?
A. $2{{t}^{2}}-3=0$ .	B. ${{t}^{2}}+t-3=0$ .
C. $4t-3=0$ .	D. ${{t}^{2}}+2t-3=0$ .

Lời giải chi tiết

${{4}^{x}}+{{2}^{x+1}}-3=0\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}+{{2.2}^{x}}-3=0$
Đặt $t={{2}^{x}}\,\,\,\,\left( t>0 \right)$ . Phương trình trở thành ${{t}^{2}}+2t-3=0$ .

Câu 23. Gọi ${{x}_{1}}$ , ${{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $\log _{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x+2=0$ . Tính $P={{x}_{1}}+{{x}_{2}}$ .
A. $6$ .	B. $-3$ .
C. $2$ .	D. $3$ .

Lời giải chi tiết

$\log _{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x+2=0$ $\Rightarrow \left[ \begin{matrix} & {{\log }_{2}}x=1 \\ & {{\log }_{2}}x=2 \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left[ \begin{matrix} & {{x}_{1}}=2 \\ & {{x}_{2}}=4 \\ \end{matrix} \right.$ .
Vậy $P={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2+4=6$ .

Câu 24. Tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình $\log _{2}^{2}x-3{{\log }_{3}}x.{{\log }_{2}}3+2=0$
A. $20$ .	B. $18$ .
C. $6$ .	D. $25$ .

Lời giải chi tiết

$\log _{2}^{2}x-3{{\log }_{3}}x.{{\log }_{2}}3+2=0\Leftrightarrow \log _{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x+2=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & {{\log }_{2}}x=1 \\ & {{\log }_{2}}x=2 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & {{x}_{1}}=2 \\ & {{x}_{2}}=4 \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=20$

Câu 25. Phương trình ${{6}^{2x-1}}-{{5.6}^{x-1}}+1=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}}$ , ${{x}_{2}}$ . Khi đó tổng hai nghiệm ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}$ là
A. 5.	B. 3.
C. 2.	D. 1.

Lời giải chi tiết

${{6}^{2x-1}}-{{5.6}^{x-1}}+1=0\Leftrightarrow \frac{{{6}^{2x}}}{6}-{{\frac{5.6}{6}}^{x}}+1=0\Leftrightarrow {{6}^{2x}}-{{5.6}^{x}}+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & {{6}^{{{x}_{1}}}}=2 \\ & {{6}^{{{x}_{2}}}}=3 \\ \end{matrix} \right.$ .
$\Rightarrow {{6}^{{{x}_{1}}}}{{.6}^{{{x}_{2}}}}=3.2\Leftrightarrow {{6}^{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}=6\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1$ .

Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Hàm số lũy thừa – Mũ – Logarit

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LOGARIT

Câu 26. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${{3}^{2x}}-{{2.3}^{x+2}}+27=0$ bằng
A. 18.	B. 27.
C. 9.	D. 3.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{3}^{2x}}-{{2.3}^{x+2}}+27=0\Leftrightarrow {{3}^{2x}}-{{18.3}^{x}}+27=0$ .
Đặt $t={{3}^{x}}\text{ }\left( t>0 \right)$ . Phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-18t+27=0.$
Nhận thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{t}_{1}};\text{ }{{t}_{2}}>0$ .
Khi đó, ${{t}_{1}}.{{t}_{2}}=27$ suy ra ${{3}^{{{x}_{1}}}}{{.3}^{{{x}_{2}}}}=27\Leftrightarrow {{3}^{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}=27\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3$ .

Câu 27. Gọi $T$ là tổng các nghiệm của phương trình $\log _{\frac{1}{3}}^{2}x-5{{\log }_{3}}x+4=0\,$ . Tính $T$ .
A. $T=4$ .	B. $T=5$ .
C. $T=84$ .	D. $T=-4$ .

Lời giải chi tiết

Phương trình $\log _{\frac{1}{3}}^{2}x-5{{\log }_{3}}x+4=0\,\Leftrightarrow \log _{3}^{2}x-5{{\log }_{3}}x+4=0\,\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & {{\log }_{3}}x=1 \\ & {{\log }_{3}}x=4 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & x=3 \\ & x=81 \\ \end{matrix} \right.$ .
Vậy $T=3+81=84$ .

Câu 28. Phương trình ${{9}^{x}}-{{6}^{x}}={{2}^{2x+1}}$ có bao nhiêu nghiệm âm?
A. $3$ .	B. $0$ .
C. $1$ .	D. $2$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{9}^{x}}-{{6}^{x}}={{2}^{2x+1}}\Leftrightarrow {{9}^{x}}-{{6}^{x}}={{2.4}^{x}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2x}}-{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}-2=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}=-1\left( L \right) \\ & {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}=2 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x={{\log }_{\frac{3}{2}}}2$ .
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm âm.

Câu 29. Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình ${{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}+{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}=4$ . Khi đó $x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}$ bằng
A. 2.	B. 3.
C. 5.	D. 4.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}.{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}=1$ . Đặt $t={{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}},\,t>0\Rightarrow {{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}=\frac{1}{t}$ .
Phương trình trở thành: $t+\frac{1}{t}=4\Rightarrow {{t}^{2}}-4t+1=0\Leftrightarrow t=2\pm \sqrt{3}$ .
Với $t=2-\sqrt{3}\Rightarrow {{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}=2-\sqrt{3}\Leftrightarrow x=1$ .
Với $t=2+\sqrt{3}\Rightarrow {{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}=2+\sqrt{3}\Leftrightarrow {{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}={{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{-1}}\Leftrightarrow x=-1$ .
Vậy $x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}=3$ .

Câu 30. Biết rằng phương trình $\log _{2}^{2}x-{{\log }_{2}}\left( 2018x \right)-2019=0$ có hai nghiệm thực ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ .Tích ${{x}_{1}}{{x}_{2}}$ bằng
A. ${{\log }_{2}}2018$	B. 0,5.
C. 1.	D. 2.

Lời giải chi tiết

$\log _{2}^{2}x-{{\log }_{2}}\left( 2018x \right)-2019=0$ . $\left( 1 \right)$
Điều kiện $x>0.$
Đặt $t={{\log }_{2}}x$ . Phương trình (1) trở thành ${{t}^{2}}-t-{{\log }_{2}}2018-2019=0.$ $\left( 2 \right)$
Do $ac<0$ nên phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}.$ Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{t}_{1}}={{\log }_{2}}{{x}_{1}};{{t}_{2}}={{\log }_{2}}{{x}_{2}}$ .
Theo Vi-et ta có ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}=1$ hay ${{\log }_{2}}\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)=1\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2$ .

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LOGARIT

Câu 31. Tìm số nghiệm thực của phương trình $\log _{2}^{2}{{x}^{2}}-{{\log }_{4}}\left( 4{{x}^{2}} \right)-5=0$ .
A. $2$	B. $4$
C. $1$	D. $3$

Lời giải chi tiết

Điều kiện $x\ne 0$ .
Phương trình $\log _{2}^{2}{{x}^{2}}-{{\log }_{4}}\left( 4{{x}^{2}} \right)-5=0$ $\Leftrightarrow \log _{2}^{2}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}{{\log }_{2}}{{x}^{2}}-6=0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{x}^{2}}=\frac{1+\sqrt{97}}{4}$ $\vee$ ${{\log }_{2}}{{x}^{2}}=\frac{1-\sqrt{97}}{4}$ . Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Câu 32. Biết phương trình $2{{\log }_{2}}x+3{{\log }_{x}}2=7$ có hai nghiệm thực ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ . Tính giá trị của biểu thức $T={{\left( {{x}_{1}} \right)}^{{{x}_{2}}}}$
A. $T=64$ .	B. $T=32$ .
C. $T=8$ .	D. $T=16$ .

Lời giải chi tiết

Điều kiện: $\left\{ \begin{matrix} & x>0 \\ & x\ne 1 \\ \end{matrix} \right.$ .
Ta có: $2{{\log }_{2}}x+3{{\log }_{x}}2=7$ $\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}x+\frac{3}{{{\log }_{2}}x}=7$
$\Leftrightarrow 2\log _{2}^{2}x-7{{\log }_{2}}x+3=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & {{\log }_{2}}x=3 \\ & {{\log }_{2}}x=\frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & x=8 \\ & x=\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.\,$ (thỏa mãn).
$\Rightarrow {{x}_{1}}=\sqrt{2}$ ; ${{x}_{2}}=8$ $\Rightarrow T={{\left( {{x}_{1}} \right)}^{{{x}_{2}}}}$ $={{\left( \sqrt{2} \right)}^{8}}$ $=16$ .

Câu 33. Phương trình ${{3.9}^{{{x}^{2}}+x-1}}-{{10.3}^{{{x}^{2}}+x-1}}+3=0$ có tổng các nghiệm thực là
A. $2$ .	B. $0$ .
C. $1$ .	D. $-2$ .

Lời giải chi tiết

Đặt $t={{3}^{{{x}^{2}}+x-1}}$ , điều kiện $t>0$ .
Khi đó phương trình đã cho có dạng: $3{{t}^{2}}-10t+3=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & t=3 \\ & t=\frac{1}{3} \\ \end{matrix} \right.$ ( tmđk)
Với $t=3\Rightarrow {{3}^{{{x}^{2}}+x-1}}=3\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-1=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & x=1 \\ & x=-2 \\ \end{matrix} \right.$
Với $t=\frac{1}{3}\Rightarrow {{3}^{{{x}^{2}}+x-1}}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-1=-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & x=0 \\ & x=-1 \\ \end{matrix} \right.$
Tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{ -2;-1;0;1 \right\}$ nên tổng tất cả các nghiệm thực là $-2$ .

Câu 34. Cho phương trình $(m+1)\log _{2}^{2}x+2{{\log }_{2}}x+(m-2)=0$ . Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm thực ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ thỏa $0<{{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}$ ?
A. $\left( 2;+\infty \right)$	B. $\left( -1;2 \right)$
C. $\left( -\infty ;-1 \right)$	D. $\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$

Lời giải chi tiết

Điều kiện $x>0$
Đặt $t={{\log }_{2}}x$ ,Ta có $0<{{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{x}_{1}}<{{\log }_{2}}1<{{\log }_{2}}{{x}_{2}}\Rightarrow {{t}_{1}}<0<{{t}_{2}}$
PT $\Leftrightarrow \left( m+1 \right){{t}^{2}}+2t+m-2=0(*)$
Theo YCBT $\Leftrightarrow (*)$ có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow \left( m+1 \right)\left( m-2 \right)<0\Leftrightarrow -1<m<2$ .

Câu 35. Phương trình ${{\log }_{2}}\left( 5-{{2}^{x}} \right)=2-x$ có hai ngiệm ${{x}_{1}}$ , ${{x}_{2}}$ . Tính $P={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ .
A. $11$ .	B. $9$ .
C. $3$ .	D. $2$ .

Lời giải chi tiết

Điều kiện: ${{2}^{x}}<5$
${{\log }_{2}}\left( 5-{{2}^{x}} \right)=2-x$ $\Leftrightarrow$ $5-{{2}^{x}}={{2}^{2-x}}$ $\Leftrightarrow$ $5-{{2}^{x}}=\frac{4}{{{2}^{x}}}$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{matrix} & {{2}^{x}}=1 \\ & {{2}^{x}}=4 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{matrix} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{matrix} \right.$
$\Rightarrow$ $P={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2$

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LOGARIT

Câu 36. Cho $0\le x\le 2020$ và ${{\log }_{2}}(2x+2)+x-3y={{8}^{y}}$ .Có bao nhiêu cặp số $(x\,;y)$ nguyên thỏa mãn các điều kiện trên ?
A. 2019.	B. 2018.
C. 1.	D. 4.

Lời giải chi tiết

Do $0\le x\le 2020$ nên ${{\log }_{2}}(2x+2)$ luôn có nghĩa.
Ta có ${{\log }_{2}}(2x+2)+x-3y={{8}^{y}}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(x+1)+x+1=3y-{{2}^{3y}}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(x+1)+{{2}^{{{\log }_{2}}(x+1)}}=3y+{{2}^{3y}}$ $(1)$
Xét hàm số $f(t)=t+{{2}^{t}}$ .
Tập xác định $D=\mathbb{R}$ và ${f}'(t)=1+{{2}^{t}}\ln 2$ $\Rightarrow$ ${f}'(t)>0$ $\forall t\in \mathbb{R}$ .
Suy ra hàm số $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ . Do đó $(1)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(x+1)=3y$ $\Leftrightarrow x+1={{2}^{3y}}$
$\Leftrightarrow y={{\log }_{8}}(x+1)$ .
Ta có $0\le x\le 2020$ nên $1\le x+1\le 2021$ suy ra $0\le {{\log }_{8}}(x+1)\le {{\log }_{8}}2021$ .
Lại có ${{\log }_{8}}2021\approx 3,66$ nên nếu $y\in \mathbb{Z}$ thì $y\in \left\{ 0\,;1\,;2\,;\left. 3 \right\} \right.$ .
Vậy có 4 cặp số $(x\,;y)$ nguyên thỏa yêu cầu bài toán là các cặp $(0\,;0)$ , $(7\,;1)$ , $(63\,;2)$ , $(511\,;3)$ .

Câu 37. Tích tất cả các giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình ${{\left( {{3}^{x}}-3 \right)}^{2}}-{{\left( {{4}^{x}}-4 \right)}^{2}}={{\left( {{3}^{x}}+{{4}^{x}}-7 \right)}^{2}}$ bằng
A. $4$	B. $1$
C. $3$	D. $2$

Lời giải chi tiết

Phương trình $\Leftrightarrow \left( {{3}^{x}}+{{4}^{x}}-7 \right)\left( {{3}^{x}}-{{4}^{x}}+1 \right)={{\left( {{3}^{x}}+{{4}^{x}}-7 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow \left( {{3}^{x}}+{{4}^{x}}-7 \right)\left( {{2.4}^{x}}-8 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & {{2.4}^{x}}=8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 1 \right) \\ & {{3}^{x}}+{{4}^{x}}-7=0\ \ \ \ \ \ \ \left( 2 \right) \\ \end{matrix} \right.$
Xét phương trình $\left( 1 \right)[latex]: [latex]\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{4}^{x}}=4\Leftrightarrow x=1$ .
Xét phương trình $\left( 2 \right)$ : Xét hàm $f\left( x \right)={{3}^{x}}+{{4}^{x}}-7$ trên $\mathbb{R}$ .
Hàm $f\left( x \right)$ liên tục và ${f}'\left( x \right)={{3}^{x}}.\ln 3+{{4}^{x}}.\ln 4>0\ \forall x\in \mathbb{R}$ nên $f\left( x \right)$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$
Khi đó, $\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=f\left( 1 \right)\Leftrightarrow x=1$ . Vậy tích các nghiệm của phương trình bằng $1$ .

Câu 38. Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho phương trình ${{16}^{x}}-m{{.4}^{x+1}}+5{{m}^{2}}-45=0$ có hai nghiệm phân biệt. Hỏi $S$ có bao nhiêu phần tử?
A. $13$ .	B. $3$ .
C. $6$ .	D. $4$ .

Lời giải chi tiết

Đặt $t={{4}^{x}},\left( t>0 \right)$ . Phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-4mt+5{{m}^{2}}-45=0$ (1).
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $t>0$ .
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & \Delta' >0 \\ & P>0 \\ & S>0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & -{{m}^{2}}+45>0 \\ & 5{{m}^{2}}-45>0 \\ & 4m>0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & -3\sqrt{5}<m<3\sqrt{5} \\ & m<-3\vee m>3 \\ & m>0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow 3<m<3\sqrt{5}$ .
Vì $m$ nguyên nên $m\in \left\{ 4;5;6 \right\}$ . Vậy $S$ có $3$ phần tử.

Câu 39. Biết $m={{m}_{o}}$ là giá trị thực của tham số m sao cho phương trình ${{4}^{x}}-(4m+1){{.2}^{x}}+2(4m-1)=0$ có hai nghiệm thực ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$ thoả mãn $({{x}_{1}}+1).({{x}_{2}}+1)=6$ . Khi đó ${{m}_{o}}$ thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left( -2\text{ };\text{ }0 \right)$ .	B. $\left( 0\text{ };\text{ }1 \right)$ .
C. $\left( 2\text{ };\text{ }4 \right)$ .	D. $\left( 1\text{ };\text{ }2 \right)$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{4}^{x}}-(4m+1){{.2}^{x}}+2(4m-1)=0\Leftrightarrow {{4}^{x}}-{{2}^{x}}-2-4m\left( {{2}^{x}}-2 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}+1 \right)\left( {{2}^{x}}-2 \right)-4m\left( {{2}^{x}}-2 \right)=0$
$\begin{matrix} & \Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-2 \right)\left( {{2}^{x}}+1-4m \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & {{2}^{x}}-2=0 \\ & {{2}^{x}}+1-4m=0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & x=1 \\ & {{2}^{x}}=4m-1 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix}$
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là: $\left\{ \begin{matrix} & 4m-1>0 \\ & 4m-1\ne 2 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & m>\frac{1}{4} \\ & m\ne \frac{3}{4} \\ \end{matrix} \right.$
Giả sử ${{x}_{1}}=1\text{ };{{x}_{2}}={{\log }_{2}}\left( 4m-1 \right)$ là hai nghiệm của phương trình
Ta có: $({{x}_{1}}+1).({{x}_{2}}+1)=6\Leftrightarrow {{x}_{2}}=3\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 4m-1 \right)=2\Leftrightarrow 4m-1=4\Leftrightarrow m=\frac{5}{4}$
Với $m=\frac{5}{4}\in \left( \text{1 };\text{ 2} \right)$ và thỏa điều kiện cần.

Câu 40. Tìm giá trị thực của $m$ để phương trình $\log _{3}^{2}x-m{{\log }_{3}}x+2m-7=0$ có hai nghiệm thực ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=81.$
A. $m=-4$ .	B. $m=44$ .
C. $m=81$ .	D. $m=4$ .

Lời giải chi tiết

Đặt $t={{\log }_{3}}x$ ta được ${{t}^{2}}-mt+2m-7=0$ , tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$
${{t}_{1}}+{{t}_{2}}={{\log }_{3}}{{x}_{1}}+{{\log }_{3}}{{x}_{2}}={{\log }_{3}}\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)={{\log }_{3}}81=4$
Theo vi-et suy ra ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}=m\Rightarrow m=4$ (Thay lại $m=4$ và đề bài ta thấy phương trình có hai
nghiệm thực ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=81$ )

Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Hàm số lũy thừa – Mũ – Logarit

Xem thêm:

Lũy Thừa - Lôgarit -