Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất hoặc lớn nhất

Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất hoặc tìm số phức z có môđun lớn nhất thỏa mãn điều kiện cho trước là một trong các dạng toán cực trị số phức. Theo đó giả thiết thường cho số phức z thỏa mãn 1 phương trình hay bất phương trình. Và yêu cầu chúng ta tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của mô đun z. Đối với dạng toán này chúng ta có 2 gợi ý về phương pháp giải. Đó là sử dụng phương pháp hình học hoặc phương pháp đại số để giải quyết. Trong bài viết này tôi sẽ hướng dẫn các bạn cách sử dụng hai phương pháp đó. Cùng theo dõi bào viết nhé!

I. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC TÌM SỐ PHỨC Z CÓ MÔĐUN NHỎ NHẤT HOẶC LỚN NHẤT

Như chúng ta đã biết mô đun của số phức z chính là khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức z (là M(z)) đến gốc tọa độ. Vì vậy để sử dụng phương pháp hình học chúng ta cần xác định được quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z. Có thể sẽ là đường tròn, hình tròn, đường thẳng, đoạn thẳng, Elip… Sau đó ta tìm điểm biểu diễn z sao cho khoảng cách tới gốc tọa độ ngắn nhất hoặc dài nhất.

Ví dụ minh họa:

Trong các số phức z thỏa mãn |z-(1+2i)|=3. Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất.

Lời giải:

Như ta đã biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện |z-(a+bi)|=r là đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính r. Do đó điểm biểu diễn z gần gốc tọa độ hơn chính là 1 trong hai giao điểm của đường thẳng OI và đường tròn (C). Từ đó ta có lời giải của bài toán.

tìm số phức có modun nhỏ nhất

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn (C) tâm I(1;2) bán kính r=3.

Dễ thấy phương trình đường thẳng OI là y=2x.

Phương trình đường tròn (C) là (x-1)²+(y-2)²=9. Từ đó ta có hệ phương trình:

cho số phức z thỏa mãn tìm giá trị lớn nhất của biểu thức t

Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Số Phức

II. PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ TÌM SỐ PHỨC Z CÓ MÔĐUΝ NHỎ NHẤT HOẶC LỚN NHẤT

Đối với phương pháp đại số chúng ta có thể giả sử z=a+bi (a,b∈R) chúng ta thay vào giả thiết và sử dụng bất đẳng thức để giải. Hoặc chúng ta có thể sử dụng các bất đẳng thức mô đun để đánh giá. Để sử dụng  bất đẳng thức mô đun, mời các bạn tra cứu tại link dưới đây.

Xem thêm: Mô đun và một số bất đẳng thức mô đun số phức.

Ví dụ minh họa: (Để tiện cho các bạn so sánh 2 phương pháp tôi sẽ sử dụng lại ví dụ bên trên).

Trong các số phức z thỏa mãn |z-(1+2i)|=3. Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất.

Lời giải:

Ta có

số phức có modun nhỏ nhất

Như vậy đối với ví dụ này chắc hẳn các bạn đã thấy được ưu điểm nhược điểm của từng phương pháp rồi. Vì cực trị số phức đa dạng và phức tạp hơn nên trong quá trình giải toán chúng ta nên tùy cơ ứng biến. Đôi khi ta có thể kết hợp cả hai phương pháp để có một lời giải nhanh hơn. Chúc các bạn thành công!

Xem thêm:

Tìm giá trị min max số phức z như thế nào?

Giải phương trình số phức như thế nào?