Cách giải phương trình logarit khác cơ số

Bài viết dưới đây gợi ý các bạn một số cách giải phương trình logarit khác cơ số. Bởi vì phương trình logarit khác cơ số không phải là một phương trình mẫu mực. Cho nên trong quá trình tìm tòi lời giải thì các bạn cần linh hoạt giữa các phương pháp giải.

cách giải phương trình logarit khác cơ số

I. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT KHÁC CƠ SỐ BẰNG ĐỔI CƠ SỐ

Công thức đổi cơ số như sau: log_a{b}=\frac{log_c{b}}{log_c{a}}. Trong đó a, b, c là các số thực dương và b khác 1. Thường thì phương pháp đổi cơ số cho các phương trình khác cơ số chỉ hữu hiệu khi biểu thức trong các logarit giống nhau.

Ví dụ minh họa:

Giải phương trình {{\log }_{2}}x+{{\log }_{3}}x=12.

Lời giải:

Điều kiện xác định x>0. {{\log }_{2}}x+{{\log }_{3}}2.{{\log }_{2}}x=12 {{\log }_{2}}x=\frac{12}{1+{{\log }_{3}}2} \Leftrightarrow x = {2^{\frac{{12}}{{1 + {{\log }_3}2}}}}. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = {2^{\frac{{12}}{{1 + {{\log }_3}2}}}}.

II. CÁCH GIẢI PΗƯƠNG TRÌNH LOGARIT KHÁC CƠ SỐ ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Khi biểu thức dưới các dấu logarit khác nhau thì các bạn nên nghĩ đến phương pháp này. Gợi ý là ta có thể đặt một logarit bằng t. Sau đó rút thế ngược lại để được phương trình mũ.

Ví dụ minh họa:

Giải phương trình
{{\log }_{2}}\left( 1+\sqrt{x} \right)={{\log }_{3}}x Lời giải:

Điều kiện xác định : x>0. Đặt t={{\log }_{3}}x\Leftrightarrow x={{3}^{t}}.
Phương trình trở thành: {{\log }_{2}}\left( 1+\sqrt{{{3}^{t}}} \right)=t\Leftrightarrow 1+{{\left( \sqrt{3} \right)}^{t}}={{2}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{t}}+{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{t}}=1\,\,\left( * \right). Hàm số f\left( t \right)={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{t}}+{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{t}} là hàm số nghịch biến nên phương trình \left( * \right) có nghiệm duy nhất t=2.
Với t=2 thì {{\log }_{3}}x=2\Leftrightarrow x=9. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=9.

III.CÁCH GIẢI PΗƯƠNG TRÌNH LOGARIT KHÁC CƠ SỐ BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Đối với một số phương trình logarit khác cơ số, biến đổi tương đương có thể giải được phương trình.

Ví dụ minh họa:

Giải phương trình sau {{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-5x+4 \right)-3{{\log }_{5}}\left( x-1 \right)=2+{{\log }_{5}}\left( x-4 \right)

Lời giải:

Điều kiện xác định: \left\{ \begin{matrix} {{x}^{2}}-5x+4>0 \\ x-1>0 \\ x-4>0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow x>4. Ta có:
{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-5x+4 \right)-3{{\log }_{5}}\left( x-1 \right)=2+{{\log }_{5}}\left( x-4 \right) \\ \Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( x-1 \right)+{{\log }_{5}}\left( x-4 \right)-3{{\log }_{5}}\left( x-1 \right)=2+{{\log }_{5}}\left( x-4 \right) \\ \Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( x-1 \right)=-1 \\ \Leftrightarrow x-1={{5}^{-1}} \\ \Leftrightarrow x=\frac{6}{5}. \\ Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

IV. CÁCΗ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT KHÁC CƠ SỐ BẰNG ĐÁNH GIÁ HAI VẾ

Nếu phương trình có dạng f(x)=g(x) xác định trên miền D. Đồng thời f(x)\ge M và g(x)\le M với mọi giá trị x thuộc miền D thì phương trình đã cho chỉ có nghiệm khi dấu bằng của các bất phương trình trên xảy ra.
Ví dụ minh họa:

Giải phương trình {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)=x\left( 2-x \right)+{{\log }_{3}}x

Lời giải:

Điều kiện : x>0. {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)=x\left( 2-x \right)+{{\log }_{3}}x \\ \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x}=x\left( 2-x \right) \\ Với x>0 thì :
• {{\log }_{3}}\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x}={{\log }_{3}}\left( x+\frac{1}{x}+1 \right)\ge {{\log }_{3}}3=1.
• Mặt khác 2x-{{x}^{2}}\le 1.
Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1.

Trên đây là một số ví dụ và gợi ý giúp các bạn có ý tưởng trong việc chinh phục phương trình logarit không mẫu mực. Chúc các bạn thành công!

Xem thêm: