Giải phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Giải phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ là một trong các phương pháp hữu hiệu để giải phương trình logarit. Từ việc đặt ẩn phụ, ta có thể đưa phương trình logarit đã cho về các phương trình có cấu trúc đơn giản hơn. Như là phương trình bậc nhất hay phương trình bậc 2. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn các bạn các bước đặt ẩn phụ để giải phương trình logarit. Cũng như chỉ ra một số điểm lưu ý khi sử dụng phương pháp này.

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Ví dụ 1:

Giải phương trình $\log _{3}^{2}x-5{{\log }_{3}}x+6=0$ .

Giải:

Điều kiện: $x>0.$

Đặt $t={{\log }_{3}}x$ .

Phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}-5t+6=0\Leftrightarrow t=2;\,\,t=3.$

Với $t=2$ ta có: ${{\log }_{2}}x=2\Leftrightarrow x=4.$

Với $t=3$ ta có: ${{\log }_{3}}x=3\Leftrightarrow x=27.$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: $x=4;\,x=27.$

Lưu ý: Khi đặt $t={{\log }_{3}}x$ thì miền giá trị của ẩn phụ là tập số thực nên ta không cần điều kiện của ẩn phụ.

Đề thi Online có giải: [7-8 điểm] Phương trình logarit – Dạng đặt ẩn phụ

Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Hàm số lũy thừa – Mũ – Logarit

Ví dụ 2:

Giải phương trình sau $\log _{2}^{2}\left( {{x}^{2}}+4 \right)-4{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+4 \right)+3=0$

Giải:
Điều kiện: $x\in \mathbb{R}.$
Đặt $t={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+4 \right),\,t\ge 2.$
Phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}-4t+3=0\Leftrightarrow t=1$ (loại); $t=3$ .
Với $t=3$ ta có: ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+4 \right)=3\Leftrightarrow x=\pm 2.$

Lưu ý: Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ thì khi đặt ẩn phụ phải hết sức chú ý đến điều kiện của ẩn phụ. Nhất là trong những bài toán có tham số cần hết sức thận trọng.

Ví dụ 3:

Cho phương trình $\log _{2}^{2}\left( {{x}^{2}}+2x+5 \right)-2m{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2x+5 \right)-m=0$ . Tìm $m$ để phương trình đã cho có nghiệm .

Giải:
Điều kiện: $x\in \mathbb{R}$ .
Đặt $t={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2x+5 \right),\,t\ge 2.$
Phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}-2mt-m=0\,\left( * \right)$ .
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm $t\ge 2.$
Vì $t\ge 2$ nên $\left( * \right)\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}}{2t+1}$ .
Đặt $g\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}}{2t+1}$ .
$g'\left( t \right)=\frac{2{{t}^{2}}+2t}{{{\left( 2t+1 \right)}^{2}}}>0,\,\forall t\ge 2.$ Mặt khác $\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( t \right)=+\infty$ .
Do đó $ycbt\Leftrightarrow m\ge g\left( 2 \right)\Leftrightarrow m\ge \frac{4}{5}.$