Phương trình mặt cầu và các dạng bài tập

Phương trình mặt cầu là một trong các nội dung qua trọng của hình học giải tích. Trong bài viết dưới đây tôi sẽ hướng dẫn các bạn tất cả các dạng toán liên quan đến nội dung này. Bên cạnh đó mỗi dạng toán sẽ có 1 ví dụ cụ thể để các bạn tiện theo dõi. Hãy cùng học nội dung nay thông qua bài viết nhé!

I. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Trước tiên ta cần nhắc lại  khái niệm mặt cầu là gì? Trong không gian, mặt cầu là quỹ tích các điểm cách đều một điểm cho trước một khoảng không đổi. Khoảng không đổi đó gọi là bán kính. Điểm cho trước gọi là tâm mặt cầu.

Mặt cầu cũng có thể được định nghĩa theo khái niệm mặt tròn xoay. Theo đó mặt cầu là mặt tròn xoay khi quay đường tròn quanh một đường kính.

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S tâm I(a;b;c) bán kính R. Phương trình chính tắc của (S) là:

(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²

Ngoài ra nếu a²+b²+c²-d>0 thì phương trình sau đây là phương trình tổng quát của (S):

x²+y²+z²-2ax-2by-2cz+d=0 (1)

Tọa độ tâm của (S) có phương trình (1) là I(a;b;c) và bán kính của (S) được tính theo công thức:

công thức tính bán kính mặt cầu oxyz

II. DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THƯỜNG GẶP

Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Mặt Nón – Mặt Trụ – Mặt Cầu

1. NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌΝH MẶT CẦU

Với dạng toán này, chúng ta có 1 số phương trình. Và được yêu cầu nhận dạng xem phương trình nào là phương trình của một mặt câ`u.

Ví dụ minh họa:

Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt câ`u?

A. x²+y²+z²-4x+6y+2z+14=0.

B. x²+y²+z²-8x+2y+2z+62=0.

C. 3x²+y²+2z²-4x+6y+2z-6=0.

D. x²+y²+z²-4x+8y+2z-6=0.

Lời giải:

Đối với dạng toán này chúng ta cần lưu ý 1 số điểm như:

Hệ số của x², y², z² phải giống nhau. Nếu hệ số của x², y², z² giống nhau mà chưa bằng 1 thì ta chia cả 2 vế phương trình để hệ số của x², y², z² bằng 1.

Phương trình x²+y²+z²-2ax-2by-2cz+d=0 muốn là phương trình mặt câ`u thì a²+b²+c²-d>0 (điều kiện để có phương trình mặt cầu).

Trong ví dụ trên, phương án A không thỏa mãn vì a²+b²+c²-d=2²+(-3)²+(-1)²-14=0.

Phương án B không thỏa mãn vì a²+b²+c²-d=4²+(-1)²+(-1)²-62<0.

Phương án C không thỏa mãn vì hệ số của x², y², z² không bằng nhau.

Phương án D là đáp án đúng vì a²+b²+c²-d=2²+(-4)²+(-1)²+6=27>0.

Chọn đáp án D.

Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Mặt Nón – Mặt Trụ – Mặt Cầu

2. XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU CÓ PHƯƠΝG TRÌNH TỔNG QUÁT

Ví dụ minh họa:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S): 2x²+2y²+2z²-8x+8y-4z=0 có tâm và bán kính lần lượt là

A. I(-2;2;-1), R=3.

B. I(2;-2;1), R=3.

C. I(-2;2;-1), R=9.

D. I(2;-2;1), R=9.

Lời giải+Hướng dẫn:

Trước hết, chúng ta cần kiểm tra hệ số của x², y², z² nếu khác 1 thì cần chia cả 2 vế cho số phù hợp. Ở bài này chúng ta chia cả 2 vế của phương trình cho 2 ta được (S): x²+y²+z²-4x+4y-2z=0.

Tiếp theo để xác định tọa độ tâm mặt cầu chúng ta lấy hệ số của x, y, z chia cho -2 ta được: I(2;-2;1).

Để xác định bán kính mặt cầu ta lấy tổng bình phương các tọa độ của tâm trừ hệ số tự do được kết quả bao nhiêu thì lấy căn bậc 2.

Bán kính mặt cầu là R²=2²+(-2)²+1²-0=9⇒R=3. Chọn đáp án B.

3. VIẾT PHƯƠNG TRÌΝH MẶT CẦU ĐƯỜNG KÍNH AB

viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm và tiếp xúc với mặt phẳng

Để làm dạng toán này ta xác định tâm là trung điểm AB, bán kính bằng nửa độ dài AB.

Ví dụ minh họa:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và điểm B(5;2;-1). Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.

A. (x-3)²+(y-2)²+(z-1)²=32.

B. (x+3)²+(y+2)²+(z+1)²=8.

C. (x+3)²+(y+2)²+(z+1)²=32.

D.(x-3)²+(y-2)²+(z-1)²=8.

Lời giải:

Tâm mặt cầu là trung điểm AB và có tọa độ là: I(3;2;1).

Gọi R là bán kính mặt cầu, ta có: (2R)²=(5-1)²+(2-2)²+(-1-3)²=32⇒R²=8.

Vậy công thức phương trình mặt cầu cần tìm là: (x-3)²+(y-2)²+(z-1)²=8.

Chọn đáp án D.

4. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU ĐI QUA 4 ĐIỂM

Có nhiều cách để giải dạng toán này. Trong đó cách làm nhanh hơn là thay tọa độ 4 điểm vào dạng phương trình tổng quát. Sau đó dùng máy tính bỏ túi giải hệ 4 phương trình 4 ẩn.

Ví dụ minh họa (Tự luận):

Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(-1;-1;-1), B(1;0;0), C(0;2;0), D(0;0;3). Mặt câ`u (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D có phương trình là gì?

Lời giải:

phương trình mặt cầu trong không gian

Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Mặt Nón – Mặt Trụ – Mặt Cầu

5. VIẾT PHƯƠNG TRÌΝH MẶT CẦU CÓ TÂM I VÀ TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG THẲNG

Có duy nhất một mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng d. Bán kính R của mặt cầu này chính là khoảng cách từ I đến d.

bài tập phương trình mặt cầu có lời giải

Ví dụ minh họa (Tự luận):

Trong không gian Oxyz, cho điểm I(2;-1;3). Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy là gì?

Lời giải:

Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ I tới trục Oy: R=|-1|=1.

(Mẹo: Chiếu lên trục nào thì lấy trị tuyệt đối cái đó, ví dụ ở đây chiếu lên trục Oy thì ta chỉ cần lấy trị tuyệt đối của tung độ).

Vậy phương trình mặt cầu tiếp xúc với trục Oy cần tìm là : (x-2)²+(y+1)²+(z-3)²=1.

Trên đây là một số dạng toán về phương trình mặt câ`u mà toanthaydinh.com giới thiệu đến các bạn. Chúc các bạn học giỏi và thành công!

Xem thêm:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng

Phương pháp tọa độ trong không gian