Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp | Công thức tính nhanh

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  hay còn được gọi là hình chóp nội tiếp mặt cầu. Đây là một dạng toán kết hợp giữa khối đa diện và khối cầu. Để làm tốt dạng toán này các em cần nắm chắc phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp. Ngoài ra chúng ta vận dụng được các công thức tính nhanh trong các trường hợp cụ thể.

Tham gia Group học tập luyện đề hàng tuần với mục tiêu 9+ tại đây.

I. TỔNG HỢP CÔNG THỨC TÍNH NHANH

Tổng hợp công thức tính nhanh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

II. CÁCH XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP

Để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1:  Xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Gọi tắt là trục của đáy ( là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
Bước 2:  Xác định mặt phẳng trung trực của một cạnh bên. Hoặc trục của của đường tròn ngoại tiếp một đa giác của mặt bên.
Bước 3:  Giao điểm của trục của đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên (hoặc trục của đáy của và trục của một mặt bên) là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
Nhận xét: Hình chóp có đáy hoặc các mặt bên là các đa giác không nội tiếp được đường tròn thì hình chóp đó không nội tiếp được mặt cầu.

Sau đây là một số công thức tính nhanh:

Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Mặt Nón – Mặt Trụ – Mặt Cầu

III. HÌNH (KHỐI) CHÓP CÓ CÁC ĐỈNH CÙNG NHÌN MỘT CẠNH DƯỚI GÓC VUÔNG

Nếu khối chóp có các đỉnh cùng nhìn 1 cạnh AB (Các đỉnh không nằm trên cạnh đó-Không kể A, B) thì tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đó là trung điểm AB. Đồng thời AB là đường kính mặt cầu. Bán kính R=AB/2.

Ví dụ:

Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy. Đáy là tam giác vuông tại B. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC biết SC=2a.

Lời giải:

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

HÌNH (KHỐI) CHÓP ĐỀU

Khối chóp đều có cạnh bên SA và chiều cao SO thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là

R = \frac{{S{A^2}}}{{2SO}}

Chứng minh:

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có đáy abc là tam giác đều

Ví dụ:

Biết tứ diện đều cạnh a nội tiếp mặt cầu (S) bán kính R. Tính R.

Lời giải:

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều

Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Mặt Nón – Mặt Trụ – Mặt Cầu

IV. HÌNH CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

Hình chóp có cạnh bên SA=h vuông góc với đáy và có bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là r. Bán kính khối cầu ngoại tiếp hình chóp đó là

R = \sqrt {{r^2} + \frac{{{h^2}}}{4}}

Chứng minh:

V. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

Giả sử hình chóp có mặt bên SAB là tam giác đều, cân tại S, vuông tại S và đồng thời nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi {R_b} là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB. Gọi {R_d} là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy. Bán kính khối cầu ngoại tiếp hình chóp đó là

 R = \sqrt {R_b^2 + R_d^2 - \frac{{A{B^2}}}{4}}