Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Tìm gtln gtnn (giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất) của hàm số lượng giác như thế nào? Trong bài viết này tôi sẽ giới thiệu đến các bạn cách tìm trong trường hợp không sử dụng đạo hàm. Đây là cách mà các bạn học sinh lớp 11 sau khi học xong chương lượng giác cần nắm được. Nào hãy cùng đọc bài viết dưới đây để tìm hiểu nhé.

I. CÁCH TÌM GTLN GTNN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC BẬC NHẤT VÀ CHỨA CĂN

1.HÀM BẬC NHẤT ĐỐI VỚI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác có dạng bậc nhất y=at+b (trong đó t là một hàm số lượng giác) là ta đánh giá từ hàm t. Thường các hàm số t là các hàm số sin hoặc cos có miền giá trị là một đoạn. Chúng ta cũng cần nhớ lại kiến thức cơ bản sau: −1≤sinx≤1, −1≤cosx≤1 để làm bài nhé.

Ví dụ 1:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác y=2sinx+3.

Lời giải:

Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: −1≤sinx≤1⇔−2≤2sinx≤2⇔1≤2sinx+3≤5.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y=2sinx+3 là 5 khi sinx=1.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2sinx+3 là 1 khi sinx=−1.

2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CÓ CHỨA CĂN BẬC 2

Đối với dạng toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác có chứa căn bậc hai thì cần lưu ý hàm số căn bậc 2 của x là hàm số đồng biến và có tập xác định là các số không âm.

Ví dụ 2:

Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

bài tập tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác lớp 11

Lời giải:

Điều kiện xác định của hàm số đã cho là 2cosx+1≥0.

Ta có: −1≤cosx≤1⇔−2≤2cosx≤2⇔−1≤2cosx≤3.

Suy ra: 0≤2cosx+1≤3

 \Leftrightarrow 0 \le \sqrt {2\cos x + 1} \le \sqrt 3 .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là y=3 khi cosx=1.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0 khi cosx=−1/2.

II. TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Với hàm số dạng y=at²+bt+c (a≠0) trong đó t là một hàm số lượng giác thì ta giải bằng cách đặt ẩn phụ. Sau đó tiến hành tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn, khoảng.

Ví dụ 3:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sin²x+2sinx-3.

Lời giải:

Tập xác định của hàm số R.

Đặt t=sinx, −1≤t≤1. Ta có: y=t²+2t−3.

Dễ thấy hàm số y=t²+2t−3 đồng biến trên [−1;1] nên giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=t²+2t−3 lần lượt là y(−1)=−4 và y(1)=0. Đó cũng tương ứng là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y=sin²x+2sinx-3.

III. TÌM GTLN GTNN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

Với hàm số lượng giác có dạng hàm số bậc nhất đối với sinx và cosx thì ta sử dụng điều kiện có nghiệm. Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là:

phương pháp tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Ví dụ 4:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=3sinx+4cosx+5.

Lời giải:

Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: y=3sinx+4cosx+5⇔3sinx+4cosx=y−5.

Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là: (y-5)²≤3²+4²⇔−5≤y−5≤5⇔0≤y≤10.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 10.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 0.

Trên đây là cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác lớp 11 mà tôi giới thiệu đến các bạn. Chúc các bạn thành công!

Xem thêm:

Hàm số lượng giác – Dạng bài tập và phương pháp giải