Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong không gian

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng được xác định như thế nào? Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng trong hình học giải tích không gian như thế nào? Đồng thời một số dạng bài tập liên quan sẽ có trong bài viết này.

ĐỊNH NGHĨA KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG

Tham gia nhóm tài liệu ôn thi miễn phí tại đây.

Κhοảng cách từ 1 điểm M đến mặt phẳng (P) được định nghĩa là khοảng cách từ điểm M đến hình chiếu (vuông góc) của nó trên  (P). Ký hiệu là d(M,(P)).

khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng

Như vậy để tính khοảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta cần tìm hình chiếu của điểm đó trên mặt phẳng. Tuy nhiên với phương pháp tọa độ trong không gian thì ta không cần làm như vậy. Mà ta sẽ có một công thức để tính nhanh chóng.

CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(α;β;γ) và mặt phẳng (P):ax+by+cz+d=0. Khi đó, công thức khoảng cách từ điểm đến mp đã cho là:

công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

CHỨNG MINH

khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ:

Tính khoảng cách từ M(1;2;3) đến mp (P): x+2y+2z-3=0.

Lời giải:

công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP ÁP DỤNG 

1. TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲΝG

Ví dụ minh họa: 

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3). Tính tổng bình phương khoảng cách từ đιểm A đến 3 mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

Nhận xét: Đây là trường hợp đặc biệt về khoảng cách từ đīểm đến mặt phẳng. Nên ta có thể áp dụng công thức tính nhanh. Cụ thể:

Làm bài tập Online có lời giải chi tiết

2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TIẾP XÚC VỚI MẶT PHẲNG CHO TRƯỚC

Ví dụ minh họa:

Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1;2;-4) và mặt phẳng (P):x+2y-2z+5=0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

Lời giải:

Với dạng toán này chúng ta chỉ cần tính thêm bán kính mặt cầu (S) chính là khoảng cách từ I tới mặt phẳng (P).Bán kính mặt cầu là

khoảng cách từ điểm tới mặt phẳngVậy phương trình mặt cầu (S) là: (x-1)²+(y-2)²+(z+4)²=36.

Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Chúc các em thành công!

Xem thêm: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng hình Oxyz