Góc giữa hai mặt phẳng trong không gian

Cảm ơn các bạn đã ghé thăm blog. Bài toán về góc giữa hai mặt phẳng trong không gian luôn là một nội dung trọng tâm chúng ta cần lưu ý học tập và luyện tập. Ở thời điểm bài viết này thì bài toán tính góc 2 mặt phẳng có ít nhất 1 câu trong đề thi THPT QG. Vậy các bạn cùng theo dõi bài viết để biết được phương pháp tính nhé.

1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Định nghĩa: Góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng đó.

góc giũa hai mặt phẳng

Hình ảnh cánh cửa đang mở cho chúng ta hình dung về góc giữa 2 mặt phẳng.

Theo đó:

  • Góc giữa 2 mặt phẳng là một góc không tù.
  • Góc giữa 2 mặt phẳng bằng 0º khi và chi khi 2 mặt phẳng đó song song hoặc trùng nhau.
  • Góc giữa 2 mặt phẳng bằng 90º khi và chỉ khi 2 mặt phẳng đó vuông góc.

Tuy nhiên trong thực hành tính góc của 2 mặt phẳng thì ta không dùng định nghĩa trên. Đơn giản vì việc xác định đường vuông góc với măt phẳng không phải lúc nào cũng đơn giản. Hơn thế nữa, xác định góc giữa 2 đường thẳng lại là một vấn đề cũng không đơn giản. Sau đây, chúng ta sẽ có 2 cách để xác định góc giữa 2 mặt phẳng.

2. TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG BẰNG GÓC PHẲNG NHỊ DIỆN

Góc phẳng nhị diện là gì?

Cho hai nửa mặt phẳng chung bờ Δ. Mặt phẳng (α) bất kỳ vuông góc với Δ cắt hai nửa mặt phẳng theo 2 tia lần lượt là Ax và Ay. Khi đó góc  được gọi là góc phẳng nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng nóí trên. Rõ ràng mặt phẳng (α) thay đổi là không ảnh hưởng đến giá trị góc ∠xAy.

Giả sử (P) và (Q) là hai mặt phẳng lần lượt chứa hai mặt phẳng nói trên. Ta dễ thấy góc giữa (P) và (Q) bằng hoặc bù với góc phẳng nhị diện. Cụ thể là bằng khi góc phẳng nhị diện không tù, và bù khi góc phẳng nhị diện tù.

cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

Ứng dụng góc phẳng nhị diện vào tìm góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp

Để tìm góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp ta có thể thực hiện như sau:

  • Bước 1: Xác định hình chiếu của đỉnh S lên mặt đáy ( chân đường cao). Tạm gọi điểm này là A.
  • Bước 2: Xác định giao tuyến của mặt bên và mặt đáy.
  • Bước 3: Chiếu chân đường cao lên giao tuyến. Tạm gọi điểm này là M. Đó chính là đỉnh của góc cần tìm. Góc cần tìm là góc ∠SMA.

Ví dụ:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tam giác ABC vuông tại B. Biết SA=a, AB=a. Tìm góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC).

Lời giải:

Ta có:

A là hình chiếu của S lên mặt đáy.

BC là giao tuyến của (SBC) và (ABC).

B là hình chiếu của A lên BC.

Do đó góc cần tìm là ∠SBA.

Dễ thấy tam giác SBA vuông cân tại A nên ∠SBA=45º.

3. TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG BẰNG GÓC TAM DIỆN

Góc tam diện là gì?

Giả sử ta có 3 tia chung gốc Ax, Ay, Az. Hình tạo bởi ba góc ∠xAy, ∠yAz, ∠xAz được gọi là góc tam diện. Ta tạm ký hiệu góc tam diện này là (Ax,Ay,Az)=(β,γ,α) ( hình vẽ).

góc tam diện

Đồng thời góc phẳng nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng chung bờ Az chứa Ax và Ay được gọi là góc phẳng nhị diện đối diện với góc tam diện ∠xAy. Như hình vẽ trên thì góc nhị diện φ đối diện với góc tam diện α. Các góc khác hoàn toàn tương tự.

Giả sử ta có góc tam diện α, β, γ và φ là góc nhị diện đối diện với góc α. Khi đó ta có định lý Côsin đối với góc tam diện:

định lý cô sin góc tam diện

Ứng dụng góc tam diện vào tìm góc giữa hai mặt phẳng

Ta có thể chia thành các bước như sau cho dễ thực hiện

  • Xác định thêm mặt phẳng thứ 3 để tạo thành góc tam diện. Mặt phẳng được chọn sao cho góc tam diện phải dễ tính nhất có thể.
  • Sử dụng định lý Côsin trong góc tam diện để tính.

Ví dụ:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy.

Lời giải:

tính góc giữa hai mặt phẳng oxyz

Xét góc tam diện (BA,BC,BS)=(60º,60º,90º).

Gọi φ là góc giữa mặt bên (SBC) và (ABCD) ta có:

Các bạn để ý có dấu trị tuyệt đối nhé. Đó là vì góc giữa hai mặt phẳng bằng hoặc bù với góc nhị diện.

Chúng ta cũng có thể kết hợp cách dùng góc nhị diện với góc tam diện để tối ưu cách giải thông qua định lý Sin trong góc tam diện như sau:

Định lý Sin cho góc tam diện

Cho góc tam diện (α,β,γ). Các góc nhị diện đối diện với α, β, γ là A, B, C. Khi đó ta có:

định lý sin góc tam diện

Ví dụ:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Đáy là tam giác điều cạnh a. Cạnh bên SA=3a/2. Tính góc giữa (SAB) và (SBC).

Lời giải:

Phân tích: Đây là bài toán tính góc giữa mặt bên và mặt đứng. Ta có thể dựng được góc nhị diện giữa hai mặt đó. Nhưng không phải cũng dễ dạng với ai. Vì vậy ta sử dụng góc tam diện.

góc 2 mặt phẳngĐầu tiên ta tính góc giữa mặt bên và mặt đáy trước. Dễ thấy góc giữa mặt bên và mặt đáy là ∠SMA với M là trung điểm BC. Các bạn xem lại phần 2 bên trên nhé!

Mặt khác:

Đây cũng là góc nhị diện của (BCS) và (BCA).

Tiếp theo xét góc tam diện (BA,BS,BC). Gọi φ là góc nhị diện đối diện với góc ∠ABC ta có:

Như vậy, để tính góc giữa mặt bên và mặt đứng ta tính góc giữa mặt bên và mặt đáy (tất nhiên là nếu dễ tính). Sau đó áp dụng góc tam diện để tính góc giữa mặt bên và mặt đứng. Tất nhiên nếu có thể áp dụng trực tiếp định lý cos trong góc tam diện thì dùng luôn.

Mỗi phương pháp tính góc 2 mặt phẳng đều có ưu điểm nhược điểm. Cách thứ nhất tuy đơn giản dễ hiểu nhưng trong trường hợp khó dựng góc nhị diện sẽ khó hữu dụng. Còn cách thứ hai tuy nhìn có vẻ phức tạp hơn. Nhưng nếu chọn được góc tam diện dễ tính thì nó lại rất nhanh, phù hợp với làm toán trắc nghiệm. Các bạn nên luyện tập cả hai cách cho nhuần nhuyễn. Chúc các bạn học tập vui vẻ.