Giới hạn hàm số – Cách xử lý các dạng vô định

Giới hạn hàm sốcách khử các dạng vô định thường gặp cùng 50 câu trắc nghiệm giới hạn hàm số sẽ có trong bài viết này. Lưu ý bài viết có mục đích diễn giải cho học sinh phổ thông hiểu dễ nhất.

I. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ LÀ GÌ?

Để cho tiện việc nhớ định nghĩa  ta coi như vô cực cũng là 1 số. Khi đó ta có định nghĩa giới hạn hàm như sau:

tìm lim của hàm số

Chú ý: Mặc dù gói gọn định nghĩa như trên sẽ không chính xác như SGK. Nhưng như vậy lại rất hữu ích trong học phần giới hạn này. Bởi vì chúng ta sẽ không phải nhớ quá nhiều thứ rườm rà phải không nào.

Định nghĩa là như vậy. Chúng ta cũng nên hiểu bản chất của giới hạn hàm là sự tiến tới A của biến x kéo theo sự tiến tới B của f(x) (nếu có).

cách tính giới hạn của hàm số

Trước khi đọc phần tiếp theo các bạn hãy lưu ý 1 số NGUYÊN LÝ  tính giới hạn vô cực sau: Hữu hạn (khác 0) trên 0 là vô cực, hữu hạn trên vô cực bằng 0, hữu hạn (khác 0 nhân vô cực bằng vô cực. 

II. CÁCH TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ NHƯ THẾ NÀO?

1. TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ DẠNG XÁC ĐỊNH

Nếu hàm f(x) xác định tại điểm lấy giới hạn. Thì ta chỉ việc thay điểm đó vào biểu thức dưới dấu lim sẽ được kết quả cần tìm.

bài tập về giới hạn hàm số

Ta chỉ việc thay x=2 vào biểu thức trong dấu lim ta được -1/4. Và đó chính là kết quả của giới hạn trên.

2. TÌM GIỚI HẠN HÀM SỐ DẠNG BẤT ĐỊNH

Đối với dạng bất định ta quan tâm tới một số dạng thường gặp như sau:

2.1. TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ DẠNG 0 TRÊN 0

Đối với dạng 0 trên 0 ta lại chia làm 2 loại: Loại giới hạn không chứa căn và loại chứa căn.

Loại không chứa căn bao gồm các loại giới hạn đặc biệt và loại phân thức mà tử và mẫu là các đa thức.

Giới hạn đặc biệt dạng 0 trên 0 được đề cập đến trong chương trình phổ thông hiện nay là:

công thức tính giới hạn hàm số

Cách tính giới hạn dạng 0 trên 0 loại đa thức trên đa thức thì ta phân tích thành nhân tử bằng lược đồ Hoocner.

bài tập giới hạn của hàm số

Ta thấy x=1 là nghiệm của cả tử số và mẫu số. Ta dùng lược đồ Hoocner để phân tích tử số và mẫu số.

bài tập giới hạn hàm số lớp 11 có lời giải

Còn để tính loại chứa căn ta thực hiện nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.

tìm giới hạn của hàm số chứa căn

bài tập giới hạn hàm số

 

Với căn bậc 3 ta cũng làm tương tự.

bài tập giới hạn của hàm số có lời giải

Ta có:

bài tập giới hạn hàm số lớp 11

Trong trường hợp giới hạn có cả căn bậc 2 và căn bậc 3 thì ta thêm bớt 1 lượng để đưa về tổng hiệu của 2 giới hạn dạng 0 trên 0.

Tên gọi mỹ miều loại này là bài hàm vắng :))

giới hạn của hàm số lớp 11

2.2. GIỚI HẠN DẠNG VÔ CÙNG TRÊN VÔ CÙNG

Với dạng giới hạn vô cùng trên vô cùng ta giải bằng cách chia cả tử và mẫu cho x với số mũ cao nhất của tử hoặc của mẫu. Lưu ý dạng này khi x tiến tới âm vô cùng chúng ta hay nhầm lẫn về dấu. Cụ thể khi đưa x vào trong căn bậc 2 ta cần để dấu – bên ngoài.

vô cùng trên vô cùng

chuyên đề giới hạn hàm số lớp 11

2.3. GIỚI HẠN DẠNG VÔ CÙNG TRỪ VÔ CÙNG

Với dạng vô cùng trừ vô cùng (vô cực trừ vô cực) ta thực hiện theo 2 phương pháp: Nhóm ẩn bậc cao nhất hoặc nhân liên hợp. Cách nào thuận lợi hơn ta tiến hành theo cách đó.

giới hạn hàm số lớp 11

Trường hợp này chúng ta cần nhân liên hợp bởi vì nếu nhóm x thì sẽ lại đưa về dạng bất định 0 nhân vô cùng.

 

vô cực trừ vô cực

 

Bài này giống bài trên đều là dạng vô cùng trừ vô cùng. Nhưng ta lại để ý là hệ số bậc cao nhất trong 2 căn là khác nhau. Vì vậy bài này chúng ta nên nhóm nhân tử chung.

2.4. GIỚI HẠN DẠNG 1 MŨ VÔ CÙNG

Với giới hạn dạng 1 mũ vô cùng ta tính thông qua giới hạn đặc biệt sau:

các công thức giới hạn hàm số

chuyên đề giới hạn hàm số

2.5. GIỚI HẠN DẠNG 0 NHÂN VÔ CÙNG

Về bản chất giới hạn dạng 0 nhân vô cùng có thể đưa về dạng 0 trên 0 hoặc dạng vô cùng trên vô cùng qua 1 vài phép biến đổi theo lưu ý ở đầu bài viết này phần định nghĩa. Với dạng giới hạn này chúng ta nên biến đổi về dạng xác định hoặc các dạng giới hạn vô định đã nêu ra ở trên. Tùy từng bài cụ thể chúng ta cần biến đổi cho phù hợp.

7 dạng vô định của giới hạn hàm số

Trên đây là giới hạn hàm sô’ và phương pháp tính một số loại giới hạn hàm mà tôi đã giới thiệu đến cho các bạn. Các cụ đã có câu “Văn ôn võ luyện”. Hãy tự đặt ra câu hỏi tại sao lại là văn ôn và võ luyện. Và hãy luyện tập thật nhiều để trở thành cao thủ nhé :)). Chúc các bạn thành công!

Bài tập tự luyện:

Chuyên đề giới hạn hàm số có đáp án

lim x tiến tới âm vô cùng

bài tập giới hạn hàm số dạng 0/0

Xem thêm:

Đồ thị hàm số