Hàm số chẵn lẻ, cách xét tính chẵn lẻ của hàm số
Hàm số chẵn, hàm số lẻ được đưa vào giảng dạy từ chương trình đại số lớp 10. Bài viết này đề cập đến tính chất của nó để ứng dụng vào giải các bài toán hàm số ở lớp 12. Hy vọng bài viết sẽ cung cấp cho các em học sinh lớp 12 đang ôn thi THPTQG thêm một cách để giải quyết các bài toán hàm số một cách nhanh nhất có thể.
Trước hết hiểu một cách trực quan thì hàm số chẵn hay lẻ là có đồ thị nhận trục tung là trục đối xứng (chẵn) hoặc đồ thị nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng (lẻ).
Do đó tập xác định của chúng cũng phải đối xứng qua điểm x=0. Tức là với mọi số thuộc tập xác định của hàm số thì số đối của nó cũng thuộc tập xác định của hàm số.
Chẳng hạn:
Tập số (−1;1) đối xứng qua điểm x=0.
Tập số [−1;1) không đối xứng qua điểm x=0.
Content
ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ CHẴN HÀM SỐ LẺ
a. Hàm số chẵn là gì
Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung. Do đó nếu lấy một điểm bất kỳ (x;f(x)) trên đồ thị thì nó phải có một ” người anh em” phía bên kia trục tung là điểm (-x;f(−x)) và dĩ nhiên f(−x)=f(x).
Đồ thị một hàm số chẵn
Vậy điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) xác định trên D là hàm số chẵn là
∀x∈D thì −x∈D và ∀x∈D thì f(−x)=f(x)
b. Hàm số lẻ là gì
Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Do đó nếu lấy một điểm bất kỳ (x;f(x)) trên đồ thị thì nó phải có “một người chị em” đối xứng qua gốc tọa độ là điểm (−x;f(−x)).
Đồ thị một hàm số lẻ
Vì hai điểm đó đối xứng với nhau qua gốc tọa độ nên f(−x)=−f(x).
Vậy điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) xác định trên D là hàm số chẵn là
∀x∈D thì −x∈D và ∀x∈D thì f(−x)=−f(x)
Hàm số không chẵn không lẻ là như thế nào?
Cuộc đời không như là mơ. Không phải ai sinh ra cũng hoàn hảo :)) . Hàm số cũng vậy. Có những hàm số không phải hàm chẵn, cũng chẳng phải hàm lẻ. Chẳng hạn như hàm số y=x²+x, y=tan(x-1),… là những hàm số như vậy.
Có những hàm số không chẵn không lẻ
Chú ý : Nếu hàm số vừa chẵn vừa lẻ thì nó là hàm số y=0.
XÁC ĐỊNH TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ
Sau đây là một số gợi ý cách xác định hàm số chẵn lẻ để chúng ta có thể xét một cách nhanh chóng:
a. Nhớ một số hàm số chẵn lẻ thường gặp
Hàm số chẵn lẻ thường gặp trong giải toán
+y=ax+b là hàm số lẻ khi và chỉ khi b=0.
+ y=ax²+bx+c là hàm số chẵn khi và chỉ khi b=0.
+ y=ax³+bx²+cx+d là hàm số lẻ khi và chỉ khi b=d=0.
+Hàm trùng phương bậc bốn là hàm số chẵn.
+ y=sinx, y=tanx, y=cotx là các hàm số lẻ. Xem thêm tại đây.
+ y=cosx là hàm số chẵn.
+Hàm y=f(|x|) là hàm số chẵn.
+Nếu f(x) là hàm số chẵn và có đạo hàm trên tập xác định thì f'(x) là hàm lẻ.
+Nếu f(x) là hàm số lẻ và có đạo hàm trên tập xác định thì f'(x) là hàm chẵn.
+Hàm số đa thức bậc chẵn thì không thể là hàm số lẻ.
+Hàm số đa thức bậc lẻ thì không thể là hàm số chẵn.
b. Nhận dạng hàm số chẵn lẻ dựa vào đồ thị hàm số
Như chúng ta đã biết, đồ thị hàm số chẵn (lẻ) đối xứng qua trục tung (gốc tọa độ) nên ta có thể nhận dạng thông qua việc quan sát đồ thị hàm số.
c. Sử dụng định nghĩa
Cách này thường xuất hiện trong xét tính chẵn lẻ của hàm số lop 10.
Thông thường để sử dụng định nghĩa ta chia làm hai bước như sau:
−Đầu tiên ta kiểm tra tập xác định của hàm số có đối xứng hay không. Nếu tập xác định đối xứng ta tiến hành bước thức hai. Nếu tập xác định không đối xứng thì ta kết luận rằng hàm không chẵn không lẻ.
−Bước thứ hai ta biến đổi biểu thức f(-x) nhằm so sánh với biểu thức f(x). Nếu hai biểu thức đồng nhất ta kết luận đó là hàm số chẵn. Còn hai biểu thức đối nhau ta kết luận đó là hàm số lẻ. Không so sánh được ta tìm một giá trị x để f(x) và f(-x) không đối cũng không bằng nhau và từ đó kết luận.
Ví dụ: Chứng minh rằng hàm số f(x)=x³+x là hàm số lẻ.
Lời giải:
Tập xác định: R
Với mọi số thực x ta có: f(−x)=(−x)³+(−x)=−(x³+x)=−f(x).
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
d. Cách xác định hàm số chẵn lẻ bằng máy tính
Ý tưởng sử dụng Casio để xét dựa trên giá trị f(x) và f(-x) bằng nhau hoặc đối nhau. Để thực hiện ta sử dụng chức năng Table ở chế độ hai hàm số.
Ví dụ: Xét tính chẵn lẻ của hàm số y=x³+2x²-3
Giải: Trên máy tính cầm tay Vinacal 570 ES Plus II ta bấm như sau (các máy tính bỏ túi khác bấm tương tự):
MODE 7
Ta tiến hành nhập hàm số đã cho trong đề bài
Tiếp theo ta nhập hàm số g(x)=f(−x) (Tức là vị trí nào của x ta bấm −x)
Các mục tiếp theo là START, END, STEP ta để mặc định cho nhanh (có thể chọn cũng được). Ta được kết quả như sau:
Đến đây ta dò hai cột giá trị F(X) và G(X) thì thấy rằng tại x=1 hai giá trị không bằng nhau cũng không đối nhau. Do đó hàm đã cho không phải hàm chẵn cũng không phải hàm lẻ. Lưu ý phương pháp này mang tính ước lượng và không thay thế cho chứng minh được. Tuy nhiên sử dụng trong giải toán trắc nghiệm có thể sử dụng được.
ỨNG DỤNG VÀO ÔN THI THPT QG
Có nhiều bài toán của lớp 12, chúng ta có thể khai thác xét tính chẵn lẻ để giải quyết nhanh hơn cách giải thông thường.
Ví dụ: Cho hàm số f(x) liên tục trên R, f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số f(|x|)+2020 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. (−∞;−2).
B. (-2;0).
C. (−2;2)
D. (0;+∞).
Lời giải:
Nhận xét f'(x) là hàm lẻ nên f(x) là hàm chẵn.
Sự biến thiên của f(|x|)+2020 so với hàm số f(x) là không đổi.
Vậy ta chọn phương án B.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
A. y=sin(x+1).
B. y=−4x³+3x²+2x-5.
C. y=2|x|³+2x²+|x|-4.
D. y=x²+3.
Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số
y=x²+2(m²-4)x+3m-2
là hàm số chẵn?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 3: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=2x³-2(m²-1)x²+4x+m-1 là hàm số lẻ. Số phần tử của S là
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 4: Cho f(x) là hàm số chẵn có bảng biến thiên như hình vẽ
Giá trị lớn nhất của hàm số g(x)=f(|x|) trên đoạn [-1;2] là
A. 1.
B. 2.
C. −1.
D. 0.
Câu 5: Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R có 5 điểm cực trị dương và f'(0)≠0. Số cực trị của hàm số f(|x|) là
A. 5.
B. 10.
C. 11.
D. 12.
Chúc các em thành công và may mắn!!!
Xem thêm:
Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
Hàm số bậc nhất bậc 2 -