Mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương

Mệnh đề kéo theo là một trong các nội dung của chương Mệnh đề tập hợp. Các bạn được học nội dung này ở chương I Đại số lớp 10. Đây là một chương học đem lại cho các bạn bước thay đổi đáng kể trong tư duy nói chung. Cũng như thay đổi trong tư duy của các bạn về toán học. Sự thay đổi đó là từ tư duy cụ thể sang tư duy trừu tượng hơn. Để có thể tư duy trừu tượng hơn, người ta cần có công cụ tốt hơn. Nội dung trong chương học này là một phần của lôgic hình thức. Hãy theo dõi bài viết dưới đây để tìm hiểu nhé.

1. MỆNH ĐỀ KÉO THEO LÀ GÌ

Cho P và Q là hai mệnh đề. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo. Và được ký hiệu là P⇒Q.

Chẳng hạn: P là mệnh đề ” Tôi có 1 triệu đô la Mỹ”. Q là mệnh đề ” Số 2 là số nguyên tố”. Khi đó mệnh đề P ⇒ Q là “Nếu tôi có 1 triệu đô la Mỹ thì số 2 là số nguyên tố”. Các bạn thử đoán xem mệnh đề trên đúng hay sai? Sau đó hãy quy lại kiểm tra sau khi đọc xong phần dưới đây nhé!

Rõ ràng, đôi khi mệnh đề P ⇒ Q hơi khó nhận biết được giá trị chân lý khi ta phát biểu. Tuy nhiên tính đúng sai của mệnh đề kéo theo có thể được xét thông qua quy tắc sau: Mệnh đề P⇒Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.

Như vậy khái niệm mệnh đề kéo theo cũng giống với phép kéo theo trong Lôgic học.

Bảng giá trị chân lý phép kéo theo

Trong logic khi xét mệnh đề P⇒Q, người ta thường không quan tâm xem P có là nguyên nhân của Q không. Mà người ta chỉ quan tâm đến tính đúng sai của nó. Vì P⇒Q chỉ sai khi P đúng và Q sai nên trong toán học để chứng minh P⇒Q đúng, người ta chỉ xét trường hợp P đúng và Q đúng. Và xét xem P có là nguyên nhân của Q không bằng các lập luận toán học.

Có một ví dụ vui như thế này. Nếu xét câu ” Bao giờ trạch đẻ ngọ đa, sáo đẻ dưới nước thì ta lấy mình” như một mệnh đề P⇒Q. Thì rõ ràng P=”Bao giờ trạch đẻ ngọ đa, sáo đẻ dưới nước” là một mệnh đề sai. Cho nên câu phát biểu trê lại là một câu luôn đúng. :))

2. PHÉP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG

Giả sử ta đag cần chứng minh một mệnh đề có dạng P⇒Q. Phương pháp chứng minh phản chứng được thực hiện theo các bước như sau:

• Giả sử mệnh đề Q sai.
• Bằng các lập luận Toán học suy ra Q sai hoặc suy ra một điều mâu thuẫn với giả thiết Q.
• Suy ra Q phải đúng.

Ví dụ: Chứng minh rằng tập số nguyên tố là vô hạn.

Chứng minh:

Giả sử tập số nguyên tố là hữu hạn. Lấy tích tất các các số nguyên tố và cộng thêm 1 ta được số T. Do tập hợp số nguyên tố là hữu hạn nên T là hợp số. Do đó T có một ước nguyên tố là p. Từ đó suy ra 1 chia hết cho p. Vô lý.

Vậy tập hợp các số nguyên tố là vô hạn.

3. MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG

Nếu P⇒Q thì Q⇒P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P⇒Q.

Nếu P⇒Q và Q⇒P đều đúng thì P được gọi là mệnh đề tương đương với mệnh đề Q. Theo bảng giá trị chân lý ở trên ta thấy P và Q tương đương nếu chúng cùng đúng hoặc cùng sai.

Vì vậy các bạn cũng phân biệt khái niệm hai mệnh đề tương đương và phép đương đương trong Lôgic nhé!

Bảng giá trị chân lý phép tương đương

Trên đây là một số vấn đề liên quan đến mệnh đề keo theo và phép chứng minh phản chứng. Chúc các bạn học giỏi và thành công! Hãy theo dõi các bài viết khác ủng hộ Blog của mình nhé! Thanks!